Tablas de Verdad

Tabla de verdad

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una
proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo
Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Considérese dos proposiciones A y B.² Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero),
o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas:
o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto
puede expresarse con una tabla simple:

Considérese además a "" como una operación o función lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores
de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es
fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores
de verdad de A y de B.

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de
A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede
devolver una función .

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de
cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la
función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.

De especial relevancia se consideran el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos
electrónicos.

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como
el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los siguientes
casos:

Verdad Indeterminada o Contingencia

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa,
según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: A /\ (B \/ C).

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las
proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de B \/ C aplicando la definición del disyuntor
a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción
entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna B \/ C, (columna 4) que representarán los valores de la
proposición completa A /\ (B \/ C), cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que
consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

1	2	3	4	5
A	B	C	B\/C	A/\(B\/C)
V	V	V	V	V
V	V	F	V	V
V	F	V	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	F
F	V	F	V	F
F	F	V	V	F
F	F	F	F	F

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición A/\(B\/C) es V y cuándo es F

Contradicción

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos
posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores
de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas
con otras. Sea el caso: [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C

Procederemos de manera similar al caso anterior. Aplicamos (Columna 4) la definición de conjuntor a los valores
de A y B.(columnas 1,2 → 4) Después aplicamos la definición de disyuntor a los valores de A y B. (columnas 1,2 → 5)
Aplicamos en la columna siguiente (Columna 6) el negador a los valores de la columna anterior. Aplicamos el
conjuntor a los valores de la columna (A/\B)(Columna 4) con los de la columna ¬(A\/B).(Columna 6) Por último
(Columna 8) aplicamos el conjuntor a los valores de la columna de C (Columna 3) con la columna última (Columna 7)
cuyo resultado nos da los valores de [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C, siempre falsos cualquiera que sea la fila que
consideremos.

1	2	3	4	5	6	7	8
A	B	C	A/\B	A\/B	¬(A\/B)	(A/\B)/\¬(A\/B)	[(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C
V	V	V	V	V	F	F	F
V	V	F	V	V	F	F	F
V	F	V	F	V	F	F	F
V	F	F	F	V	F	F	F
F	V	V	F	V	F	F	F
F	V	F	F	V	F	F	F
F	F	V	F	F	V	F	F
F	F	F	F	F	V	F	F

Tautologías

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su
tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las
proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con
otras. Sea el caso: [(A→B)/\(B→C)] →(A→C)

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad:

A	B	C	A→B	B→C	(A→B)/\(B→C)	(A→C)	[(A→B)/\(B→C)] →(A→C)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican
las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

• La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad
alguna.

• Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada,
  como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de
  verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un
argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su
carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones
que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las
premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es
axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

La aplicación fundamental se hace cuando se construye un sistema lógico que modeliza el lenguaje natural
sometiéndolo a unas reglas de formalización del lenguaje. Su aplicación puede verse en el cálculo lógico.

CÁLCULO LÓGICO.

Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se
harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:

• Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos
• Como construcción de un sistema matemático puro
• Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.

Los operadores fundamentales se definen así:

Negación

La negación es un operador que opera sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la
proposición considerada.

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de
dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y
falso en cualquier otro caso.

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

Disyunción

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos
proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando
ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad
de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, yverdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

El bicondicional o doble implicación es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.