Computadoras en Red, Vídeo Digital.

Equipo 7 Sonido Digital y Gráfica de mapas de bits. parte 2

Gráfica de mapas de bits.

Existen dos tipos principales de imágenes digitales: los mapas de bits, en los que la imagen se crea mediante una rejilla de puntos de diferentes colores y tonalidades, y los gráficos vectoriales, en los que la imagen se define por medio de diferentes funciones matemáticas.

Las imágenes de mapa de bits (bitmaps o imágenes raster) están formadas por una rejilla de celdas, a cada una de las cuales, denominada píxel (Picture Element, Elemento de Imagen), se le asigna un valor de color y luminancia propios, de tal forma que su agrupación crea la ilusión de una imagen de tono continuo.

Un píxel es pues una unidad de información, pero no una unidad de medida, ya que no se corresponde con un tamaño concreto. Un píxel puede ser muy pequeño (0.1 milímetros) o muy grande (1 metro).

Una imagen de mapa de bits es creada mediante una rejilla de píxeles única. Cuando se modifica su tamaño, se modifican grupos de píxeles, no los objetos o figuras que contiene, por lo que estos suelen deformarse o perder alguno de los píxeles que los definen. Por lo tanto, una imagen de mapa de bits está diseñada para un tamaño determinado, perdiendo calidad si se modifican sus dimensiones, dependiendo esta pérdida de la resolución a la que se ha definido la imagen.

Los gráficos de mapa de bits se obtienen normalmente a partir de capturas de originales en papel utilizando escáneres, mediante cámaras digitales o directamente en programas gráficos. También existen multitud de sitios en Internet que ofrecen imágenes de este tipo de forma gratuita o por una cantidad variable de dinero.

Resolución de una imagen de mapa de bits

La resolución de una imagen es el un concepto que suele confundir bastante, principalmente porque no es un concepto único, sino que depende del medio en el que la imagen vaya a ser visualizada o tratada. Así, podemos hablar de resolución de un archivo digital, resolución de impresión, resolución de semitono, resolución de escaneado, etc.

Tal vez el concepto más ligado a la propia naturaleza de la imagen digital sea el de resolución del archivo digital, definida como el número de píxeles distintos que tiene una imagen por unidad de longitud, es decir, la densidad de éstos en la imagen. Sus unidades de medida son los píxeles por pulgada (ppp o ppi, pixels per inch, en inglés) o los píxeles por centímetro (más raramente). Cuanto mayor sea esta resolución, más contenedores de información (píxeles) tiene el fichero digital, más calidad tendrá la imagen y más peso en Kb tendrá el fichero.

Esta resolución está muy ligada al concepto de resolución de pantalla en un monitor, referida al número de píxeles por pulgada existentes en la pantalla del monitor en el que se visualiza la imagen. Una configuración del monitor en alta resolución exhibirá más píxeles por pulgada, por lo que éstos serán más pequeños, permitiendo una mejor visualización de la imagen en pantalla. En ningún caso podremos visualizar una imagen a mayor resolución que la de pantalla, que suele ser de 72 ppp en un sistema Mac y de 96 ppp en un PC.

Una vez definida la resolución de pantalla, el tamaño de los píxeles dependerá del tamaño físico de la pantalla, medido en pulgadas. Las resoluciones de pantalla más comunes en la actualidad son 800x600 y 1024x768 píxeles, oscilando los tamaños de pantalla entre 15 y 21 pulgadas.

En el trabajo de digitalización de imágenes con escáner se maneja el concepto de resolución de muestreo, que define el número de muestras que se toman por pulgada. Su unidad de medida son las muestras por pulgada (spi, samples per inch). Cuanto más muestras por pulgada tenga una imagen escaneada, más cercana estará la imagen digital a la imagen original. Este forma de medir la resolución se utiliza poco, habiéndose adoptado como medida de calidad de un imagen escaneada los píxeles por pulgada que tiene la imagen digital resultante del proceso.

En trabajos con imágenes destinadas a la impresión se maneja el concepto de resolución de impresión, que se refiere a la capacidad máxima de discriminación que tiene una máquina de impresión, es decir, los puntos de tinta o toner que puede colocar una impresora u otro dispositivo de impresión dentro de una pulgada para imprimir la imagen. Su unidad de medida son los puntos por pulgada lineal (dpi, doths per inch). En general, cuantos más puntos, mejor calidad tendrá la imagen impresa.

Por último, en el entorno de la imprenta se suele utilizar el concepto de resolución de trama o semitono, definida como la capacidad máxima de imprimir una trama con diferentes tonos de gris (hasta un máximo de 256). También conocida con el nombre de lineatura (linescreen) o frecuencia de línea, su unidad de medida son las líneas por pulgada (lpi). La resolución de trama está relacionada con la capacidad de reproducir las imágenes simulando sus tonos continuos por medio de líneas de puntos de semitono, y se obtiene fácilmente dividiendo la resolución máxima de impresión de la máquina en cuestión por el número de tonos que se quieren obtener.

Una forma común de clasificar las imágenes según su resolución es aquella que las divide en imágenes de alta resolución (hi-res) e imágenes de baja resolución (low-res). Una imagen de alta resolución está prevista para la impresión, teniendo generalmente 300 ppp o más. Una imagen de baja resolución está prevista solamente para su exhibición en pantalla, teniendo generalmente una resolución de 100 ppp o menos.

A mayor resolución, más píxeles hay en una imagen, más grande es su mapa de bits, mayor información contiene y mayor capacidad de distinguir los detalles espaciales finos, por lo que tendrá más definición, permitiendo un mayor detalle, unas transiciones de color más sutiles y una mayor calidad de reproducción.

Las imágenes de mapas de bits dependen de la resolución a la que han sido creadas, por lo que al modificar su tamaño pierden calidad visual. Si lo disminuimos, los trazos finos perderán definición, desapareciendo partes de los mismos, mientras que si lo aumentamos, la imagen se pixelizará, al tener que cubrirse de forma aproximada píxeles que inicialmente no existían, produciéndose el conocido efecto de dientes de sierra.

La resolución de una imagen está relacionada con su tamaño, de tal forma que cuando le asignemos una resolución estaremos asignando un tamaño a los píxeles que la forman, con lo que sabremos qué tamaño tiene la imagen. Por ejemplo, si una imagen tiene 100 píxeles por pulgada, querrá decir que cada 2,54 cm. habrá 100 píxeles, con lo que cada píxel equivaldrá a 2,54 mm. Si dijéramos que esa imagen tiene una resolución de 1 píxel por pulgada, lo que sabríamos es que ahora cada píxel tendrá un tamaño de 2,54 cm.

Otra consecuencia de la relación resolución-tamaño es que para mantener la calidad de reproducción, al variar el tamaño de una imagen tamaño, tendremos que variar también su resolución. En líneas generales, si queremos que mantenga el mismo nivel de calidad hay que mantener la cantidad de información que posee la imagen (número de bits que ocupa) cuando modificamos sus dimensiones.

Elección de la resolución

La resolución de una imagen no debe ser nunca mayor que la del medio en el que se va a publicar, pues supondría un exceso de información que no va a ser utilizada. Si representamos en un gráfico la relación calidad imagen-resolución para un medio de publicación determinado, llega un punto en que por mucho que aumentemos la resolución, la calidad no aumentará, pero sí el peso del fichero y los recursos necesarios.

Las imágenes de alta resolución reproducen generalmente más detalle y transiciones más sutiles del color que imágenes de baja resolución. Sin embargo, el aumento de la resolución de una imagen baja resolución separa solamente la información original en un mayor número de píeles, pero raramente mejora la calidad de la imagen.

Los diferentes medios utilizan diferentes resoluciones, siendo las más comunes las siguientes:

Medio	Resolución de trabajo
Pantalla de ordenador	72 ppp
Prensa (periodicos, revistas, etc.)	Normalmente, 90 ppp, aunque puede subir a 300 ppp en impresión offset
Impresora	Diferentes resoluciones, generalmente entre 300 ppp y 600 ppp (impresoras laser)
Fotografía	Suele emplear imágenes de 800-1500 dpp y mayores
Imprenta	Es necesario saber la lineatura de impresión, pues la resolución de una imagen se corresponde con la lineatura de impresión en una escala de 2:1 (para imprimir a 150 lpp, deberemos trabajar las imágenes al doble, 300 ppp. En fotocomponedoras para impresión se suele trabajar a 1200 ppp

Si estamos trabajando con imágenes destinadas a la impresión, los ficheros gráficos grandes, con mucha resolución y/o tamaño, tardan más en ser procesados por el RIP (Raster Image Processor), el procesador de imágenes de un aparato postscript. Cualquier ahorro sensato de tamaño es algo que redundará en trabajos manejables y menos dados a causar problemas y retrasos.

Además, la lineatura no es algo que podamos elegir al azar. Aunque las cámaras digitales o las filmadoras sean capaces de llegar a resoluciones muy altas, el limite de trabajo lo va a marcar el medio en el que vayamos a imprimir, el método que vayamos a usar para ello y el dinero que estemos dispuestos a pagar por ello.

Si la imagen está destinada a ser impresa en una impresora de inyección de tinta, habrá que digitalizar la imagen a una resolución de 300 ppp para que la definición final sea correcta, ya que ésta es la resolución máxima que suelen dar estos dispositivos.

Si una imagen está destinada a ser visualizada en un monitor de ordenador, hay que tener en cuenta que la resolución de estos periféricos es de 72 ppp en los aparatos Macintosh y 96 píxeles por pulgada en los PCs con sistemas Windows, por lo que habrá que digitalizarla a estas resoluciones. Si le damos mayor resolución estaremos desperdiciando recursos, sobre todo si la imagen está destinada a la web, ya que tardará mucho más en bajarse desde el servidor sin conseguir ninguna ventaja visual con ello.

Resumiendo: Hay que trabajar siempre en unos niveles de resolución adecuados al medio en el que se va a usar la imagen. Resoluciones mayores necesitarán unos recursos excesivos que no son aprovechables.

En el extremo contrario, resoluciones menores que las del medio suelen producir una mala visualización o impresión, presentando las imágenes el conocido efecto de pixelización o dientes de sierra.

http://www.desarrolloweb.com/articulos/1755.php luciano moreno.

los links publicados, es la bibliográfica donde se recopilo la información de dichas entradas.

Equipo 7 Sonido Digital y Gráfica de mapas de bits. parte 1

Sonido digital.

Hoy día mucha gente escucha compact disc, escucha "hablar" a sus PC's y siente los efectos especiales de los videojuegos, esto es posible gracias a la tecnología de sonido digital, pero sabe usted que es realmente el sonido digital? Para comenzar a comprender el significado de la expresión "sonido digital" debemos antes saber de donde provienen estas palabras por separado. El sonido es un fenómeno físico que percibimos al producirse una perturbación en el medio en cual estamos; El sonido son ondas que se transmiten como cuando tiramos una piedra al agua tranquila de un lago, a partir del lugar donde cayó la piedra se generan ondas que se propagan en el agua. En el caso del sonido estas ondas se propagan por aire, sólidos o líquidos. De manera tal que si alguien aplaude, ese aplauso desplaza aire que hace vibrar a las sensibles membranas de nuestros oídos, esa vibración es decodificada por el cerebro como sonido. En el caso de grabación o registro analógico, este se produce de la siguiente manera: el movimiento del aire hace vibrar la membrana del micrófono, esta produce pequeñas diferencias eléctricas que son trasladadas a una cinta de cassette, estas diferencias eléctricas son proporcionales al movimiento de la membrana del micrófono, o sea a mayor vibración, mayor diferencia eléctrica será trasladada a la cinta creando en ésta una copia que es analogía (o casi) de las ondas que llegan al micrófono. Luego el cabezal de reproducción del grabador se encargará también de convertir esas variaciones en señales, que, amplificadas a través de unas bocinas llegarán a nuestros oídos. Digital nos indica la presencia de procesos numéricos para la concreción de hechos, o sea, así como los relojes digitales se valen de circuitos y una pantalla para marcar la hora, los sistemas de audio digital se valen de circuitos para guardar el registro de la música, lo que hacen estos circuitos es grabar una larga cadena de números con un dispositivo llamado conversor analógico digital A/D que se encarga de monitorear constantemente la evolución de la onda y asignarle a cada momento un valor numérico, luego ese valor numérico es decodificado por un conversor llamado digital analógico (D/A). Un dato importante es conocer como trabajan los convertidores A/D para convertir la señal sonora tomada desde un micrófono o reproductor de audio (CD, cassette, audio out de videocassettera, etc...). Esto opera de la siguiente manera: a medida que la señal va ingresando en el convertidor, este va tomando muestras del momento y nivel de la señal. Estos dos parámetros son los componentes que determinarán la calidad final del sonido, por ejemplo si nuestro convertidor toma una muestra cada un segundo, las variaciones en el sonido que se produzcan en el intermedio no serán registradas, la cantidad de muestras que el convertidor toma por segundo se llama frecuencia de sampleo y es del orden de las 11000 muestras por segundo (11 Khz) para que el sonido sea comprensible, como dato es útil mencionar que los compact disc de audio poseen una frecuencia de sampleo de 44.1 Khz (44100 muestras por segundo). El segundo elemento que determina la precisión de la grabación digital es la cantidad de bits de resolución. La resolución es la cantidad de niveles que reconocerá el conversor; podemos dar como ejemplo el siguiente caso: hagamos de cuenta que tenemos un cinturón el cual tiene dos agujeros para la hebilla. Si tenemos suerte nos quedará bien, pero si no, nos quedará o muy suelto o muy apretado; si le agregamos dos agujeritos más tendremos 4 variaciones de tamaño y de esta manera, cuanto más agujeritos, más posibilidades de variación, de la misma manera influye la cantidad de bits sobre la variedad de niveles que toma el conversor. Ponernos a hablar de bits, bytes y sus implicaciones es bastante pesado, así que nada más vale la pena aclarar que si la resolución de un sampleo es de 8 bits, esto significa que el conversor sólo reconocerá 256 niveles distintos de cada sampleo, la resolución irá subiendo en potencias de 2 por cada bit de resolución que se le agregue, siendo 16 la resolución que se utiliza en los CD y que produce 65500 niveles. Ahora que comprendimos como funciona la mecánica del audio digital les puedo comentar que tener sonido en lo que se llama dominio digital es muy útil para editarlo, ya que como el sonido esta transformado en números es fácil de sumar, restar y aplicar fórmulas a estos números que podrían darnos como resultado el agregar eco, reverb, delay y otros efectos. En el plano de la edición de sonido podemos decir que el tener una computadora PC nos puede abrir ahora las puertas al ilimitado mundo de la edición de audio digital con sólo una tarjeta digitalizadora como por ejemplo la Delta 66 de M-Audio que actúa como convertidor de A/D D/A y un software de edición digital adecuado para Windows podemos convertir a nuestra PC en un estudio digital de capacidades que eran hasta hace muy poco inalcanzables para cualquier particular o mediana empresa ya que podemos grabar directo a disco duro y "ver" el sonido en forma gráfica, analizar el rango de frecuencias y copiar, cortar y pegar fragmentos de audio en distintas partes sobre una línea de tiempos, ecualizar e infinidad de posibilidades más. Para terminar recomiendo a quien quiera incursionar en estas actividades se provea de un disco duro de gran capacidad ya que el audio digital ocupa gran cantidad de espacio de almacenamiento en disco; por ejemplo : cada minuto de audio digital estéreo grabado con una frecuencia de 44.1 Khz y 16 bits ocupa 10 Megabytes. http://www.midilandia.com/midiland/articulos/art_sonidodigital.htm

Tablas de Verdad

Tabla de verdad

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una
proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo
Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Considérese dos proposiciones A y B.² Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero),
o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas:
o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto
puede expresarse con una tabla simple:

Considérese además a "" como una operación o función lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores
de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es
fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores
de verdad de A y de B.

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de
A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede
devolver una función .

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de
cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la
función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.

De especial relevancia se consideran el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos
electrónicos.

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como
el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los siguientes
casos:

Verdad Indeterminada o Contingencia

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa,
según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: A /\ (B \/ C).

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las
proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de B \/ C aplicando la definición del disyuntor
a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción
entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna B \/ C, (columna 4) que representarán los valores de la
proposición completa A /\ (B \/ C), cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que
consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

1	2	3	4	5
A	B	C	B\/C	A/\(B\/C)
V	V	V	V	V
V	V	F	V	V
V	F	V	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	F
F	V	F	V	F
F	F	V	V	F
F	F	F	F	F

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición A/\(B\/C) es V y cuándo es F

Contradicción

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos
posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores
de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas
con otras. Sea el caso: [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C

Procederemos de manera similar al caso anterior. Aplicamos (Columna 4) la definición de conjuntor a los valores
de A y B.(columnas 1,2 → 4) Después aplicamos la definición de disyuntor a los valores de A y B. (columnas 1,2 → 5)
Aplicamos en la columna siguiente (Columna 6) el negador a los valores de la columna anterior. Aplicamos el
conjuntor a los valores de la columna (A/\B)(Columna 4) con los de la columna ¬(A\/B).(Columna 6) Por último
(Columna 8) aplicamos el conjuntor a los valores de la columna de C (Columna 3) con la columna última (Columna 7)
cuyo resultado nos da los valores de [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C, siempre falsos cualquiera que sea la fila que
consideremos.

1	2	3	4	5	6	7	8
A	B	C	A/\B	A\/B	¬(A\/B)	(A/\B)/\¬(A\/B)	[(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C
V	V	V	V	V	F	F	F
V	V	F	V	V	F	F	F
V	F	V	F	V	F	F	F
V	F	F	F	V	F	F	F
F	V	V	F	V	F	F	F
F	V	F	F	V	F	F	F
F	F	V	F	F	V	F	F
F	F	F	F	F	V	F	F

Tautologías

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su
tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las
proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con
otras. Sea el caso: [(A→B)/\(B→C)] →(A→C)

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad:

A	B	C	A→B	B→C	(A→B)/\(B→C)	(A→C)	[(A→B)/\(B→C)] →(A→C)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican
las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

• La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad
alguna.

• Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada,
  como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de
  verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un
argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su
carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones
que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las
premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es
axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

La aplicación fundamental se hace cuando se construye un sistema lógico que modeliza el lenguaje natural
sometiéndolo a unas reglas de formalización del lenguaje. Su aplicación puede verse en el cálculo lógico.

CÁLCULO LÓGICO.

Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se
harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:

• Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos
• Como construcción de un sistema matemático puro
• Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.

Los operadores fundamentales se definen así:

Negación

La negación es un operador que opera sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la
proposición considerada.

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de
dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y
falso en cualquier otro caso.

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

Disyunción

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos
proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando
ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad
de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, yverdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

El bicondicional o doble implicación es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.